Vzorec krížového produktu vektora (obsah)
- vzorec
- Príklady
Čo je vzorec vektorového krížového produktu?
Vo vektorovej algebre a matematike termín „vektorový krížový produkt“ označuje binárne operácie medzi vektormi v trojrozmernej geometrii. Krížový produkt je označený krížovým znamienkom „x“ medzi dvoma vektormi a výsledkom krížového produktu je ďalší vektor, ktorý je kolmý na rovinu obsahujúcu počiatočné dva vektory. Vzorec pre vektorový krížový produkt sa môže odvodiť vynásobením absolútnych hodnôt dvoch vektorov a sínusového uhla medzi týmito dvoma vektormi. Matematicky predpokladajme, že a a b sú dva vektory, takže a = ai i + a 2 j + a 3 k a b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, potom je krížový produkt vektora reprezentovaný ako,
ax b = |a| |b| sinθ n
kde θ = uhol medzi a a b
| A | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )
| B | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )
n = jednotkový vektor kolmý k obom a a b
Ďalej môže byť vektorový krížový produkt tiež expandovaný do svojich trojrozmerných vektorových komponentov, tj i, j a k, ktoré sú všetky navzájom kolmé. Vzorec pre krížový produkt vektora je vyjadrený ako,
ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )
Príklady vzorcov vektorového krížového produktu (so šablónou programu Excel)
Vezmime príklad, aby sme lepšie pochopili výpočet vektorového krížového produktu.
Túto šablónu vzoru Vector Cross Product Formula Excel si môžete stiahnuť tu - šablónu vzoru Vector Cross Product Formula ExcelVzorec krížového produktu vektora - príklad č. 1
Vezmime príklad dvoch vektorov a a b tak, že ich skalárna veľkosť je | A | = 5 a | B | = 3, zatiaľ čo uhol medzi týmito dvoma vektormi je 30 stupňov. Vypočítajte krížový produkt vektorov týchto dvoch vektorov.
Riešenie:
Vektorový kríž Produkt týchto dvoch vektorov sa vypočíta pomocou vzorca uvedeného nižšie
sekera b = | A | | B | sinθ n
- sekera b = 5 * 3 * sin30 n
- sekera b = 7, 5 n
Preto vektorový krížový produkt týchto dvoch vektorov je 7, 5.
Vzorec krížového produktu vektora - príklad č. 2
Vezmime príklad dvoch vektorov a (4, 2, -5) a b (2, -3, 7), že a = 4i + 2j - 5k a b = 2i - 3j + 7k. Vypočítajte krížový produkt vektorov týchto dvoch vektorov.
Riešenie:
Vektorový kríž Produkt týchto dvoch vektorov sa vypočíta pomocou vzorca uvedeného nižšie
sekera b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j ( 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- sekera b = i (2 * 7 - (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 - 4 * 7) + k (4 * (-3) - 2 * 2)
- sekera b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )
Preto vektorový krížový produkt dvoch vektorov (4, 2, -5) a (2, -3, 7) je (-1, -38, -16).
Vzorec krížového produktu vektora - príklad č. 3
Zoberme si príklad rovnobežníka, ktorého susedné strany sú definované dvoma vektormi a (6, 3, 1) a b (3, -1, 5), že a = 6i + 3j + 1k a b = 3i - 1j + 5k. Vypočítajte plochu rovnobežníka.
Riešenie:
Teraz je možné vektorový krížový produkt týchto dvoch vektorov vypočítať pomocou vyššie uvedeného vzorca ako:
sekera b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j ( 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- sekera b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
- sekera b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )
Teraz je možné oblasť rovnobežníka odvodiť vypočítaním veľkosti vektorového krížového produktu ako:
- | ax b | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
- | ax b | = 34, 79
Preto je plocha rovnobežníka 34, 79.
vysvetlenie
Vzorec pre vektorový krížový produkt možno odvodiť pomocou nasledujúcich krokov:
Krok 1: Najskôr určte prvý vektor a a jeho vektorové komponenty.
Krok 2: Ďalej stanovte druhý vektor b a jeho vektorové komponenty.
Krok 3: Ďalej určte uhol medzi rovinou dvoch vektorov, ktorá je označená ako 9 .
Krok 4: Konečne vzorec pre krížový produkt vektora medzi vektorom a a b možno odvodiť vynásobením absolútnych hodnôt a a b, ktorý sa potom vynásobí sínusom uhla (krok 3) medzi dvoma vektormi, ako je znázornené nižšie.
sekera b = | A | | B | sinθ n
Relevancia a použitie vzorcov vektorového krížového produktu
Koncept vektorového krížového produktu má rôzne aplikácie v oblasti strojárstva, matematiky, výpočtovej geometrie, fyziky, počítačového programovania atď. Základný koncept nám pomáha pri určovaní nielen veľkosti skalárnej zložky produktu dvoch vektorov, ale aj poskytuje tiež smerovanie výsledného. Ďalej sa tiež používa na určenie uhla medzi rovinami týchto dvoch vektorov. Koncept a aplikácie vektorových krížových produktov môže byť veľmi komplexný a zaujímavý.
Odporúčané články
Toto je sprievodca vzorcom vektorového krížového produktu. Tu diskutujeme o tom, ako vypočítať produkt Vector Cross Product Formula spolu s praktickými príkladmi a šablónou Excel na stiahnutie. Ďalšie informácie nájdete aj v nasledujúcich článkoch -
- Vzorec pre kvartilnú odchýlku
- Ako vypočítať vzorec HDP na obyvateľa
- Príklady úrokových nákladov
- Výpočet čistej úrokovej marže